Почему возникает такая разница в освещенности, когда, казалось бы, половина Луны должна светить в два раза слабее полной Луны?

Причины в том, что поверхность Луны не является гладкой (горы, впадины, кратеры) и сама структура ее грунта пористая.

Из-за деталей рельефа половина Луны в фазе четверти не равна половине отражающей поверхности. Вот сравните два фото. Неровности отбрасывают тени и «работает» на отражение не вся поверхность. В полнолуние для земного наблюдателя тени на поверхности Луны исчезают

Из-за пористости во время полнолуния и близко к нему происходит  так называемый эффект Зелигера (оппозиционныйэффект, оппозиционный скачок или скачок противостояния) — эффект резкого увеличения яркости твёрдой шероховатой поверхности тела, если источник его освещения расположен почти точно за наблюдателем.

Объясняется структурой поверхности, в которой много мелких пор.  Свет на дне пор, ямок виден только под малым углом (то есть при расположении наблюдателя на линии между источником и освещаемым им телом) , тогда они оказываются освещены полностью. и  яркость всего небесного тела увеличивается.

Но некоторые исследователи считают, что еще имеет место быть эффект когерентного обратного рассеяния. Но в такие дебри углубляться уже не будем)