Как относились древние римляне к тому, что их мифология почти повторяет мифологию древних греков?

И греки и римляне были язычниками.  Язычники отличаются от книжников тем, что канонов меньше. Вы должны четко осознать одну вещь - никакой "греческой мифологии" не существовало. 

Обладая условно общим набором богов (пантеон - это, на самом деле, сотни вариантов собраний богов), греки могли в любой момент в свободной форме интерпретировать свою религию.

На уровне города (полиса) вводились культы отдельных богов. Некоторые из них были общими. Например, Зевс или Афродита. Но Зевс, - формально глава пантеона, вполне мог быть в условном Коринфе менее популярен, чем, например, Афина или бог местной реки. 

На уровне районов полиса могли существовать культы других богов, на уровне отдельной семьи - третьи варианты культа. 

И так вплоть до личного отношения человека к религии. 

Если почитать "Греческие мифы" Куна, то можно подумать, что это не так. Но более серьезные работы дают более серьезные ответы. 

Почитайте Роберта Грейвса. Он дает разбивку каждого мифа и его вариантов по полисам. Каждый миф в другом городе рассказывали по-разному. Вплоть до мифа о создании мира. 

Что сделали римляне? Они не сделали ничего нового. Так как римская культура восходит к полисной греческой культуре (по сути, Италия была колонизирована греками и смежными культурами), они просто рассказывали эти мифы по-своему. 

Они никогда не переименовывали греческих богов и не заимствовали мифологию греков. Они просто верили, что именно их версия была правильной. Изначально. 

То есть, проще говоря, греки там чего-то навыдумали, а у нас вот так. 

Не было самого ощущения вторичности религии перед греческой. Скорее всего - было ощущение "странных греков" которые что-то там себе напридумывали. 

Но это было нормально. Искажение религии и ее интерпретация не считались чем-то запретным или странным. 

Тем не менее, в римской мифологии уже есть свои особые черты: прежде всего - бог Янус, конечно. Римские ворота войны. Совершенно другая роль бога Марса. Смешение Аполлона и Гелиоса в одного бога. На более поздних этапах - культы восточные, из которых боги "запрыгивали" в уже римский пантеон.