По российскому законодательству официально можно заключать трудовой договор с 16 лет, однако в случае разработки игр это не самый реалистичный сценарий.
Более вероятно найти работу после того, как вы закончите уситься в ВУЗе, если вы приобрели нужную (или, в случае геймдизайна, хотя бы смежную) профессию. Тогда мы говорим о 22-23 годах.
Но что делаеть, если вы закончили кафедру туризма и гостиничного дела, но все еще хотите устроиться разработчиком игр? Здесь найти работу после вуза будет уже сложнее, поэтому чтоит поизучать теорию, возможно взять практические курсы, поучаствовать в геймджемах, наработать портфолио. Скорее всего, параллельно придется еще работать, чтобы не сидеть у родителей на шее, поэтому возьмем с запасом - 3-4 года. Выходит, 25-27 лет. Это, кстати, плюс-минус средний возраст джуниор / миддл специалистов в сфере.
А если вы хотите создавать собственный проект, участвовать в геймджемах, пилить простые моды для существующих игр или изучать игровые движки - никто вам не может этого запретить ровно с того дня, как у вас появится к этому интерес. Если вы начнете изучать интересующую вас сферу рано, это поможет вам определиться с профессией, даст плюсы и при поступлении, и к моменту получения образования вы будете выгодно выделяться на фоне других соискателей.