Ваше представление о математической модели пространства?

В математической физике пространство Минковского (или пространство-время Минковского) представляет собой комбинацию трехмерного евклидова пространства и времени в четырехмерное многообразие, где пространственно-временной интервал между любыми двумя событиями независим. инерциальной системы отсчета, в которой они записаны. Хотя первоначально математик Герман Минковский разработал уравнения электромагнетизма Максвелла, было показано, что математическая структура пространства-времени Минковского подразумевается постулатами специальной теории относительности.

Пространство Минковского тесно связано со специальной теорией относительности и общей теорией относительности Эйнштейна и является наиболее распространенной математической структурой, на основе которой формулируется специальная теория относительности. В то время как отдельные компоненты в евклидовом пространстве и времени могут различаться из-за сокращения длины и замедления времени, в пространстве-времени Минковского все системы отсчета согласуются с общим расстоянием в пространстве-времени между событиями. 3 пространственных измерения, пространство Минковского отличается от четырехмерного евклидова пространства.

В трехмерном евклидовом пространстве (например, просто пространстве в теории относительности Галилея) группа изометрий (отображения, сохраняющие регулярное евклидово расстояние) является евклидовой группой. Он создается вращением, отражением и переводом. Когда время исправлено как четвертое измерение, добавляются дальнейшие преобразования переводов во времени и галилеевские бусты, и группа всех этих преобразований называется группой Галилея. Все преобразования Галилея сохраняют трехмерное евклидово расстояние. Это расстояние чисто пространственное. Разница во времени также сохраняется отдельно. Это меняется в пространстве-времени специальной теории относительности, где пространство и время переплетаются. Пространство-время снабжено неопределенной невырожденной билинейной формой, по-разному называемой метрикой Минковского , квадратом нормы Минковского или внутренним произведением Минковского в зависимости от контекста. Внутреннее произведение Минковского определяется так, чтобы получить пространство-время. интервал между двумя событиями, если в качестве аргумента задан их вектор разности координат.Оснащенная этим внутренним продуктом математическая модель пространства-времени называется пространством Минковского. Аналогом группы Галилея для пространства Минковского, сохраняющим пространственно-временной интервал (в отличие от пространственного евклидова расстояния), является группа Пуанкаре. Как многообразия пространство-время Галилея и пространство-время Минковского совпадают. Они отличаются тем, какие дальнейшие структуры на них определены. Первый имеет евклидову функцию расстояния и временной интервал (отдельно) вместе с инерциальными системами отсчета, координаты которых связаны преобразованиями Галилея, а второй имеет метрику Минковского вместе с инерциальными системами отсчета, координаты которых связаны преобразованиями Пуанкаре.

=========================================

Комплекс Минковского пространство-время

=========================================

В своей статье по второй теории относительности в 1905–1906 годах Анри Пуанкаре показал,как,приняв время за воображаемую четвертую пространственно-временную координату ict, где c — скорость света, а i — воображаемую единицу, преобразования Лоренца можно представить как обычные вращения четырехмерной евклидовой сферы

x^2 + y^2 + z^2 + (ict)^2 = const

Пуанкаре положил c = 1 для удобства. Вращения в плоскостях, натянутых на два единичных вектора пространства, проявляются как в координатном пространстве, так и в физическом пространстве-времени как евклидовы вращения и интерпретируются в обычном смысле. «Вращение» в плоскости, охватываемой единичным вектором пространства и единичным вектором времени, хотя формально все еще является вращением в координатном пространстве, является усилением Лоренца в физическом пространстве-времени с реальными инерциальными координатами.

Аналогия с евклидовыми вращениями является лишь частичной, поскольку радиус сферы на самом деле является мнимым, что превращает вращения в вращения в гиперболическом пространстве. Эта идея, лишь очень кратко упомянутая Пуанкаре, была подробно разработана Минковским в обширной и влиятельной статье на немецком языке в 1908 году под названием «Основные уравнения для электромагнитных процессов в движущихся телах».Минковский, используя эту формулировку, переформулировал недавнюю на тот момент теорию относительности Эйнштейна.

В частности, переформулировав уравнения Максвелла в виде симметричной системы уравнений с четырьмя переменными (x, y, z, ict) в сочетании с переопределенными векторными переменными для электромагнитных величин, он смог прямо и очень просто показать их инвариантность относительно преобразования Лоренца.

Он также сделал другие важные вклады и впервые использовал матричную запись в этом контексте. Из своей переформулировки он пришел к выводу, что ко времени и пространству следует относиться одинаково, и так возникла его концепция событий, происходящих в едином четырехмерном пространственно-временном континууме.

Где v — четырехмерный вектор, x, y и z — декартовы координаты в трехмерном пространстве, c — константа, представляющая вселенский предел скорости, t — время, четырехмерный вектор v = (ct, x, y , z) = (ct, r) классифицируется по знаку c^2*t^2 − r^2. Вектор является времениподобным, если c^2*t^2 > r^2, пространственноподобным, если c^2*t^2 < r^2, нулевым или светоподобным, если c^2*t^2 = r^2. Это можно выразить и через знак η(v, v), который зависит от сигнатуры. Классификация любого вектора будет одинаковой во всех системах отсчета, которые связаны преобразованием Лоренца (но не общим преобразованием Пуанкаре, поскольку в этом случае начало координат может быть смещено) из-за инвариантности интервала.Набор всех нулевых векторов в событии пространства Минковского составляет световой конус этого события. Для данного времениподобного вектора v существует связанная с ним мировая линия постоянной скорости, представленная прямой линией на диаграмме Минковского. Как только направление времени выбрано, времяподобные и нулевые векторы могут быть далее разложены на различные классы. Для времениподобных векторов имеем направленные в будущее времениподобные векторы, первая компонента которых положительна (вершина вектора расположена в абсолютном будущем на рисунке) и времениподобные векторы, направленные в прошлое, первый компонент которых отрицателен (абсолютное прошлое).

Нулевые векторы делятся на три класса:

нулевой вектор, компоненты которого в любом базисе равны (0, 0, 0, 0) (начало),

направленные в будущее нуль-векторы, первая компонента которых положительна (верхний световой конус), и

нулевые векторы, направленные в прошлое, первый компонент которых отрицателен (нижний световой конус).

Вместе с пространственноподобными векторами всего 6 классов.

Ортонормированный базис пространства Минковского обязательно состоит из одного времениподобного и трех пространственноподобных единичных векторов. Если кто-то хочет работать с неортонормированными базисами, возможны другие комбинации векторов. Например, можно легко построить (неортонормированный) базис, полностью состоящий из нулевых векторов, называемый нулевым базисом.Векторные поля называются времениподобными, пространственноподобными или нулевыми, если связанные векторы являются времениподобными, пространственноподобными или нулевыми в каждой точке, где определено поле.

Детально см. http://www.mathnet.ru/supplement/conf/1354/lecture10.pdf