Как татары были вместе с монголами, если Монголия и Татарстан далеко друг от друга? Или те татары были предками не современных татар, а, например, тувинцев. которые к тому же буддисты, как и монголы?

Те татары были предками современных киргизов , казахов , ногаев , астраханских и крымских  татар, узбеков, сибирских татар, тувинцев, бурятов, алтайцев, ногайбаков, башкир и татар , это те гунны которые не ушли в Европу  . Относятся к уральско-алтайской языковой группе. А нынешние монголы пришли туда с Маньчжурии уже после падения хубилаевской династии Юань в Китае, джунгары это.

В те времена понятие татар имело совсем другое, это как теперь понятие тюрки. Чингизхан относился к чёрным татарам , а были ещё белые и дикие.