Как татары были вместе с монголами, если Монголия и Татарстан далеко друг от друга? Или те татары были предками не современных татар, а, например, тувинцев. которые к тому же буддисты, как и монголы?

Монголо-татары не были предками современных татар, самые близкие к монголо-татарам народы - это те же киргизы, узбеки. Татары же в современном Татарстане - это скорее потомки волжских булгар.Вообще приставка "татары" после монголов в сочетании "монголо-татары" изначально не была этнонимом скорее всего. Этнонимом она стала после того, как покоренные монголами народы стали называть себя "татарами" из уважения к завоевателям. Но вообще историки отмечают, что почти вся западная часть Великой Орды Чингисхана состояла из тюркских народов и что помимо монголов, у Чингисхана в войсках были и тюрки. Так что здесь 100% ответа вам не даст никто.