Как татары были вместе с монголами, если Монголия и Татарстан далеко друг от друга? Или те татары были предками не современных татар, а, например, тувинцев. которые к тому же буддисты, как и монголы?

Во-первых, Татарстан не имеет никакого отношения к тем татарам. Те татары – это монгольское племя, а татарстанские татары – бывшие булгары.

Во-вторых, долгое время монголы рода Чингисхана именно против монгольских татар, в основном, и воевали. Сам Чингисхан получил татарское имя Темучин в честь убитого его отцом татарского врага (в то время так было принято).

В-третьих, буддистов среди монголов в то время было немного; буддизм распространился в Орде после завоевания Китая, в период династии Юань. Традиционной монгольской религией было тенгрианство, хотя Орда была построена на принципах свободы вероисповедания, и правнук Чингисхана Сартак, например, был христианином.