Вы считаете что в те годы, можно было вот так просто объявить республику? Франция прошла через годы революций и свержение Бурбонов в это же время, и там появился Бонапарт, который поддерживал республиканский курс.
А в России у власти стоял Павел первый, но правил недолго и многие питали к нему ненависть, опять же из-за отклонения от курса Екатерины.
Но хоть он и был монархом, был ещё и дворянский класс с крепостничеством, а смогла ли бы существовать республика в России наравне с узаконенным рабством? Даже Александр второй со скрипом предварил в жизнь Соборное уложение, лишь более чем 50 лет спустя, и то, фактически крепостничество после него никуда не делось. Так что отвечая на ваш вопрос, и выражая лишь своё субъективное мнение, скажу, что Павла бы вряд ли спасла попытка объявить парламентскую республику.
А будь у него иной характер, может быть и правил дольше. Но опять же, всё это мы знаем из истории, которую писали так, как было угодно власть имущим, которые жили после него)