Вращается ли Вселенная вокруг своей оси, подобно планетам, звездам и галактикам?

Если вращается, то крайне незначительно. Если бы была точка, относительно которой Вселенная бы обращалась, то Вселенная была бы осесимметрична (симметрична относительно оси вращения, как наша галактика, например, Млечный Путь, он относительно поворотов вокруг осей не совпадающих с осью вращения совсем не симметричен), и мы бы как-то это видели по распределениям галактик, реликтовому излучению и динамике расширения Вселенной. Но как показывает опыт, во всех направлениях Вселенная одинакова, изотропна.

С точки зрения общей теории относительности не все равно вращается ли материя во вселенной или нет. Существуют космологические решения с вращающейся материей, которые отличаются от обычных. И в обычной механике вращение не относительно. Когда мы вращаемся, на нас действуют силы инерции, например, центробежная сила. Как на шарик в стакане или людей на карусели. Всегда можно определить крутишься ли ты или нет. В отличие от относительного прямолинейного движения с постоянной скоростью.