В случае публичного унижения человека по признаку сексуальной ориентации или гендера, куда ему следует обращаться, чтобы привлечь виновного к ответственности?

Он может смело обратиться к п.... к полиции ! К тому же,  если случай проходит по УК РФ, например его 131 статье,  у гражданина есть возможность, получить бесплатную экспертизу. В случае установления доказательств, исправительная процедура, будет немедленно применена в лучших тюрьмах России.