В случае публичного унижения человека по признаку сексуальной ориентации или гендера, куда ему следует обращаться, чтобы привлечь виновного к ответственности?

Придется защищаться самому. Надо будет подумать о подаче иска в суд о защите чести и достоинства, правда для этого надо будет серьезно поработать над доказательственной базой и установлением личности ответчика. Если с этим получится, можно будет подумать об уголовном преследовании.