В России лаборатория сна есть в НИПНИ им. В.М. Бехтерева на базе отделения неврозов и психотерапии. Возглавляет его заслуженный деятель науки, д.м.н. профессор Борис Дмитриевич Карвасарский.
Отдельного института (на сколько я поняла, вы спрашиваете именно про НИИ), который занимался бы только вопросами сна, поисковик не выдаёт.
Но если интересно, по стране есть достаточно много центров, которые помогают пациентам решить проблемы со сном и наконец-то уже выспаться). Существует даже целый каталог таких заведений: http://rossleep.ru/katalog-akkreditovannyih-tsentrov-2/.
Существуют. Есть отделение медицины сна в Первом меде им. Сеченова, есть лаборатория сна при институте им. Бехтерева, есть центры медицины сна и т.п.
Поскольку в медицине и нейробиологии есть раздел "сомнология" - наука, исследующая сон, изучающая расстройства сна, их лечение, влияние на здоровье человека, - логично, что есть институты, где учат, и НИИ.