Существовали ли на самом деле легендарные три богатыря?

Существовали прототипы персонажей. Например Илия Печерский был прообразом Ильи Муромца. 

Прототипом былинного персонажа некоторыми исследователями считается исторический силач по прозванию «Чоботок», родом из Мурома или Муровска, принявший монашество в Киево-Печерской лавре под именем Илия, причисленный к лику святых как «преподобный Илия Муромец» (канонизирован в 1643 году).

Угодник Божий Преподобный Илия Муромец жил в XII веке и скончался иноком Киево-Печерской лавры около 1188 года. Память по церковному календарю — 19 декабря (1) января.

Первые письменные сведения о нём относятся к 1630-м годам; ранняя традиция относит жизнь Илии к XII веку; XI—XII веками датируют погребение исследователи. В 1594 году посол римского (германского) императора Эрих Лассота сообщает в своих записях об Илие Муромце и Чоботке как о разных людях; скорее всего, увидев разрушенную гробницу и мощи в пещере, он не предположил, что они могут принадлежать одному и тому же человеку. Ему рассказали, что Чоботок был богатырём и носил своё прозвище с тех пор, как однажды отбился от врагов чоботом — то есть сапогом (укр.)

Вики

В 1988 году Межведомственная комиссия Минздрава УССР провела экспертизу мощей святого Ильи Муромца. Исследования мощей показали, что преподобный был исключительно сильным человеком и имел рост 177 см (высокий рост для средневековья). У него обнаружены признаки заболевания позвоночника (былинный Илия от рождения и до 33 лет не мог двигаться) и следы от многочисленных ранений. Причиной смерти послужил, вероятно, удар острого орудия (копья или меча) в грудь, сквозь прикрывавшую грудь левую руку. Смерть наступила в возрасте около 40—55 лет.

Предполагают, что он погиб при взятии Киева князем Рюриком Ростиславичем в 1204 году, сопровождавшемся разгромом Печерской лавры союзными Рюрику половцами. В таком случае, он должен был родиться между 1150 и 1165 гг.

Я был в Киево-Печерской лавре и видел его мощи. Так что в некотором смысле я видел Илью Муромца)