Ну, по-правильному это называется "избыточным глаголом" - это не синоним, а одно и то же слово, у которого есть несколько форм в одном и том же времени (здесь, например, это произошло из-за отличий в древнерусском и церковнославянском языке - в одном был корень -двиг-, в другом -движ- - и оба до наших дней дожили, образовав разные формы одного и того же глагола).
Конкретно эти два слова совпадают по смыслу с одним исключением - это значение "трогаться с места, отправляться в путь", здесь употребляется только "двигается" - "поезд двигается с места".
Во всех остальных случаях эти две формы взаимозаменяемы, хотя иногда стилистически больше подходит какая-то одна. Скажем, во фразе "поезд движется по рельсам" можно использовать другую форму, но это будет выглядеть немного неуместно, стилистически выбиваться. Ну или наоборот - во фразе "мною движет тяга к знаниям" слово "двигает" тоже будет странно выглядеть в большинстве случаев, хотя и не противоречит никаким нормам.
Такие дела.