Думаю, что в принципе нет. Но это индивидуальный вопрос.
Животное- это естественное существо. В естественных условиях больное животное умерло бы.
Вообще вопрос умерщвления животных- индивидуальный. Одни считают грехом умерщвление животных для еды, другие-нет.
Если говорить о православии. Остаётся открытым вопрос даже о правомерности убийства человека на войне (с точки зрения религии). Что уж о животных говорить. Больные животные часто являются источником заражения людей. Даже здоровых животных приходится усыплять если, например, в семье родился ребёнок с аллергией на животных.
Если человек считает этот поступок греховным или даже сомневается в его греховности, то можно рассказать о нём на исповеди. Священник индивидуально решит.
Если причина эвтаназии "чтоб животное не мучалось", то тут можно написать диссертацию "Как мучаются животные от человека и от болезней". В ней можно упомянуть повсеместную кастрацию домашних животных, лишение естественной среды обитания всяких экзотических животных, черепах например. И тд. Является ли всё это грехом? Если и грех, то не страшный.
Ты бы тоже умер в естественной среде
Религиозная мораль, как правило, регулирует отношение человека с человеком. Пиетет к животным просматривается только в ведических религиях. В христианстве указывается, что животные даны во власть человеку, их умерщвление грехом не является.
Ты во власти правительства, тебя тоже можно усыпить?