С точки зрения биологии и физики, могли ли существовать драконы, и если бы могли, то как они бы отличались от тех, что изображены в мультиках, фильмах и играх?

На самом деле, могли бы и существовать.
Я затрону лишь кое-какие аспекты по поводу драконов и то, какими они могли бы быть:
Птицы - родственники динозавров. Так что если бы драконы и существовали, то скорее всего они бы были ближе к птицам, чем к ящерицам. 
Ну и я тут прочитал ответы выше и отвечу как бы драконы изрыгали пламя и как они могли бы летать. Физика физикой, но еще есть химия и биология.
Вы удивитесь, но таки есть организм, который "изрыгает пламя". Это жук-бомбардир. Они способны более или менее прицельно выстреливать из желёз в задней части брюшка саморазогревающейся смесью химических веществ. Температура смеси в момент выстрела достигает 100 °C, а её выброс сопровождается громким звуком.
Драконы могли бы получать нужные им химикаты при помощи специальных желез, как у жуков или же быть геофагами и использовать для этого минералы (платина, сера). Но скорее всего газы, водород и метан - их катализатором является кислород (платина+кислород+водород или метан+кислород+водород). Водород так же помогал бы летать.
Для защиты легких и челюсти от высокой температуры они могли бы обладать двумя механизмами - ложное нёбо (как у крокодилов) и утолщенными складками.
Ну и о полёте.
Есть очень много способов компенсировать большие размеры. Строение костей - они могли бы быть полыми (но это исключено, так как если исходить из общепринятых представлений, драконы - крупные существо), или же их кости могли быть пористыми, как у птиц. Сильные и легкие кости. Но крылья всё равно были бы очень тяжелыми из-за площади. Я уже выше писал, что драконы скорее были бы близки к птицам. У птиц есть "воздушные" мешки, которые помогают им в полёте. У драконов тоже могли бы быть такие мешки, но им нужен не воздух, а газ гораздо легче воздуха. Возможно, они бы поглощали минералы (при этом быть частично геофагами) для этого или в их кишечники были бы особые бактерии, выделяющие нужный газ (водород) при переваривании пищи. Скорее всего, они так же могли бы летать голодными и срыгивать пищу/производить акт дефекации перед полетом. Возможно у них так же не было бы мочевого пузыря. 

Ну, как-то так.