С каких масштабов космического пространства гравитация Эйнштейна начинает отклоняться от ньютоновской гравитации?

Первое, что следует отметить, что слово отклоняться — не совсем корректно. Дело в том, что это концептуально совершенно разные теории, не связанные никак друг с другом. В Ньютоновской механике гравитация — сила взаимодействия между массами. При этом время и евклидовое пространство — абсолютны (не зависят от наблюдателя). В Общей Теории Относительности (ОТО) гравитация не есть сила взаимодействия. Гравитация — свойства искривлённого пространства-времени и материи-энергии, присутствующей в ней. Свойства эти описываются уравнениями Эйнштейна.

Формально Ньютоновская механика и гравитация хорошо описывают движения материальных объектов в слабых гравитационных полях и полностью неприменимы в сверх сильных полях нейтронных звёзд и чёрных дыр. Но и в масштабах Солнечной системы обнаружены ошибки Ньютоновской гравитации. Так, угловое отклонение фотона в гравитационном поле (Солнца), предсказываемое ОТО, прекрасно согласуется с измерениями (точность ≲1%), тогда как классическая механика Ньютона, предполагая, что фотон обладает не нулевой массой, двукратно занижает значение (см. например здесь). Кроме того, зависимость хода времени от гравитации (относительность времени), следующая из ОТО, строго доказана многочисленными экспериментами и полностью противоречит концепции абсолютного времени Ньютона. Это значит, что ход времени на ваших часах и часах вашего соседа этажом выше, разный, и хотя вы его и не замечаете, для космических аппаратов разница становится значимой и учитывается, например в GPS спутниках.

И ещё. Из уравнений ОТО следуют удивительные свойства искривлённого пространства-времени и движения материи-энергии, не существующие в Ньютоновской механике. Это Frame dragging эффект и Geodetic эффект, предсказанные в ОТО и подтверждённые 80 лет спустя тончайшими спутниковыми экспериментами (Gravity Probe B). Оказывается, что вращающаяся материя (Солнце, чёрная дыра) вовлекает в свое вращение пространство-время, а та в свою очередь передает это вращение другим объектам (Земле, аккреционному диску). На рисунке внизу показаны перечисленные два эффекта для гравитационно связанной системы Земля—Солнце.

А вот эта картинка внизу, из книги для малышей. В ней как раз показано влияние вращающейся чёрной дыры на кривизну пространства (Frame dragging эффект) и на траекторию материального тела в этом пространстве ("General Relativity for babis" by Chris Ferrie).