Почему по мнению российских госпатриотов, сербы являются «братским народом», хотя Сербия находится где-то вдали от России?

Стоит заметить, что большие страны вообще редко любят их ближайшие соседи: чем теснее соседство двух наций, тем больше между ними исторических счётов. Это заметно и с Россией, и с США, и с Китаем, и с Японией. Так что сербы потому неплохо относятся к России, что с Россией, в общем-то, никогда тесно не контактировали и в российской сфере влияния были лишь весьма условно. 

Исторически пророссийские, панславистские идеи были наиболее популярны среди тех славянских народов, которые находились под властью неславянских империй (Австро-Венгерской, Османской). Сербы тоже постоянно были вынуждены противостоять этим двум империям, имели с ними нерешённые территориальные споры, поэтому православная Россия была для них естественным союзником. В то же время, поляки, например, к панславизму относились весьма прохладно, т.к. видели в нём орудие России - одной из трёх империй, лишивших Польшу независимости. Амбиции Болгарии, освобождённой от турок русскими войсками, тоже не были полностью удовлетворены как с точки зрения территорий, так и с точки зрения статуса (формально Болгария оставалась до 1908 года частью Османской империи, пусть и с крайне широкой автономией), после чего болгары поняли, что ориентироваться исключительно на Россию - плохая идея. 

Но окончательная смерть панславизма связана с эпохой доминирования СССР в Восточной Европе. Разочарование в коммунистических идеях, которые поддерживались Советским Союзом вплоть до вооружённых вмешательств в дела стран, желавших перейти к менее жёсткой экономической и политической модели, резко снизило привлекательность России в глазах других славянских народов. 

А с сербами получилось интересно: Югославия была социалистическим государством, но с очень высокой степенью самостоятельности от Москвы. На её территории не было советских войск, она не входила в состав Варшавского договора - восточного аналога НАТО, и вообще по многим вопросам расходилась с Советским Союзом. Так что социализм там не ассоциировался с советским влиянием. К тому же, сербы были больше других народов заинтересованы в сохранении единой Югославии, и многие в России их в этом поддерживали. Так что для сербов Россия - дальний союзник, который неспособен реально вмешиваться в их дела, но может хотя бы в теории защитить от внешней угрозы.