Со словом «борщ» глагол «переборщить», скорее всего, этимологически не связан, хотя полностью исключить связь слов «переборщить» и «борщ» нельзя: в «Толковом словаре живого великорусского языка» В. И. Даля дается глагол «борщить», который в южных диалектах означает 'лить через край, слишком много'.
П. Я. Черных в «Историко-этимологическом словаре русского языка» указывает: «Что касается глагола переборщить – перебарщивать, то это позднее неуклюжее новообразование, известное лишь с начала XX в., происходит, по-видимому, не от борщ, а... от переборка, ср. далее перебрать». То есть «переборщить» родственно слову «перебрать» – взять слишком много, больше, чем нужно.
Кулинарное изделие здесь не при чем. Ведь сами пораскиньте мозгами. Слово "переборщить" образованно от слова "перебор", в последнем корень "бор", а в первом добавлена буква "щ", вероятно, для облегченного произношения и понимания.