Почему говорят, что армяне похожи на евреев?

Потому что в чём-то так оно и есть. И в плане внешности, и в плане истории.

1) История:

• Оба народа - весьма древние, заставшие ещё античные времена, как минимум. 
• Оба народа имеют древний опыт построения государства и свою особенную культуру.
• А потом, вследствие жестоких войн, и распада государств, оказались рассеяны по всему миру. 
• Подвергались жесточайшим гонениям со стороны противников-завоевателей, а в XX веке пережили жестокие геноциды. 
• Подвергались дискриминации или не всегда приветствовались на территории проживания, но при этом почти на любом новом месте умудрялись захватить экономические ниши, где местные были не столь успешны. Особенно, в сфере предпринимательства. 
• Представляют собой относительно замкнутые этносы, не слишком склонные к ассимиляции, зато очень часто выручают "своих". 
  2) Антропология:

Европеоиды-меланохрои. Переднеазиатский тип или арменоиды. К нему относятся как раз армяне, ассирийцы, северные (подчеркнуть слово "северные") арабы и значительная часть евреев. (Хотя антропологические теории могут различаться). Можно взять фотографию ливанских арабок-христианок (которые, соответственно, одеваются по-европейски), и подписать: "армянки". Не факт, что кто-то почует подвох. И наоборот. Значительная часть (светлый тип ашкеназов, бухарские, йеменские, а про китайских (и такие есть!) даже вспоминать нет особого смысла) евреев не соответствует; но это уже из-за перипетий истории еврейского народа, который оказался рассеян значительно раньше армян. Тем не менее, у меня есть фотография знакомой еврейки на одном мероприятии, которую выложил в один паблик VK. Там кто-то сделал комментарий: "Армяне такие милые". И сам я, когда впервые её встретил, не мог понять, к какому народу она относится. И ещё два таких случая, между прочим, вспоминаю. 

Почему так? Ну, по-видимому, несмотря на то, что армянский - индоевропейский язык, значительную роль в формировании народа составили иные этносы, проживавшие на территории, оказавшиеся под управлением определённой группы индоевропейцев.