Почему Достоевский так популярен на Западе?

Прежде всего я бы хотел сказать, что понятие "Запад" - это в большой степени "наше" понятие. Существуют совершенно разные культуры, которые по многим обстоятельствам сильно связаны друг с другом, но отнюдь не являются единым целым. Способы понимания и интерпретации творчества Достоевского сильно разнятся, как от одной культуры к другой, так и внутри одной культуры на разных временных отрезках. Например, то, что здесь в одном из ответов написано о современном состоянии, справедливо прежде всего для США, а не для "Запада" вообще (которого в общем-то и нет). В Германии и Франции свои, гораздо более глубокие традиции прочтения Достоевского, идущие от Ницше и Ясперса и от Жида и Камю, соответственно. И современные мыслители из этих стран, когда обращаются к Достоевскому, то действуют опираясь на опыт этих традиций, даже если отвергают их. Например, довольно показателен в этом плане Ж. Делез. Насколько я знаю, у него нет отдельных работ, посвященных именно Достоевскому, но во многих его книгах рассыпаны удивительно точные и глубокие замечания, связанные с мыслями Достоевского, что показывает насколько сильно его книги уже вошли в "плоть" французской культуры. 

Собственно, Достоевский во многом определил развитие всего модернизма в западноевропейской литературе и, я думаю, что именно здесь следует искать основу его бОльшей (чем, например, у Толстого) "популярности" или, как я бы сформулировал, бОльшей "вовлеченности" в западноевропейскИЕ культурЫ. 

Если говорить о "современности", то отдельно необходимо упомянуть труд М.М. Бахтина "Проблемы поэтики Достоевского", который стал одним из краеугольных камней литературоведения и в США и в западноевропейских странах и заодно в очередной раз "вовлек" сочинения Достоевского в круг актуальных проблем.

Ну и да, совершенно верно выше отметили, что необходимо различать, так сказать, "массовую" и "академическую" популярность. Совершенно разные механизмы действуют и если считать только "поголовье окормленных", то смешной сериал на ВВС дал Толстому гораздо больше очков, чем книга Бахтина Достоевскому.