Объясните простыми словами, что такое ловушка Байеса?

y384, Во второй раз в классической формулировке загадки выбирать нужно будет из двух дверей, а не из 99. Потому что ведущий откроет 98 из них - т.е. все неверные двери, кроме одной. И, да, в этом случае парадокс становится намного очевидней. Потому что речь идет о том, что либо я с первой попытки угадал одну из ста дверей (если я оставляю свой первоначальный выбор), либо, что я не угадал (если я меняю дверь). Очевидно, угадать одну из ста дверей в 99 раз менее вероятно, чем не угадать.

Оксана Петрова, это не имеет отношения к задаче.

Дмитрий Пивоваров, а при чем тут миллион раз, если ситуация единственная? Если в конкретной ситуации ведущий предложил менять дверь, то почему вы решили что он в миллион раз будет делать такие предложения? Возможно он делает предложение о замене только тогда, когда вы изначально выбрали дверь за которой автомобиль?

Евгений Шуравин,
1. По условиям задачи ведущий предлагает замену всегда.
2. Миллион повторов задачи с тремя дверями даст статистическое подтверждение того, что смена двери даёт 2/3 вероятности выигрыша, тогда как изначальный выбор - лишь 1/3.
3. Миллион дверей просто делает ситуацию нагляднее - каков шанс, что Вы сразу угадали верную дверь из миллиона?

Дмитрий Пивоваров, в посте у вас этого условия нет "1.По условиям задачи ведущий предлагает замену всегда.", без этого условия смена выбора выглядит сомнительной.

Евгений Шуравин, зато есть в оригинальной формулировке парадокса Монти-Холла.

Дмитрий Пивоваров, Ага, я нашел этот парадокс в вики, и как раз сказано что в оригинальной формулировке эта задача некорректна:

"После публикации немедленно выяснилось, что задача сформулирована некорректно: не все условия оговорены. Например, ведущий может придерживаться стратегии «адский Монти»: предлагать сменить выбор тогда и только тогда, когда игрок первым ходом выбрал автомобиль. Очевидно, что смена первоначального выбора будет вести в такой ситуации к гарантированному проигрышу (см. ниже).

Наиболее популярной является задача с дополнительным условием — участнику игры заранее известны следующие правила :

1.автомобиль равновероятно размещён за любой из трёх дверей;

2.ведущий знает, где находится автомобиль;

3.ведущий в любом случае обязан открыть дверь с козой (но не ту, которую выбрал игрок) и предложить игроку изменить выбор;

4.если у ведущего есть выбор, какую из двух дверей открыть (то есть, игрок указал на верную дверь, и за обеими оставшимися дверями — козы), он выбирает любую из них с одинаковой вероятностью."

Наверно это и есть ловушка Баерса: вероятность выиграть автомобиль зависит от условий, если вы насчитали 2/3 - то это только потому что вы предполагаете некоторые дополнительные условия (ведущий вам подыгрывает), которые на самом деле могут и не выполнятся. А 2/3 - это именно условная вероятность. Точно так же я могу предполагать условия что Монти предлагает обмен только если я изначально выбрал автомобиль. Тогда обмен невыгоден никогда.

Евгений Шуравин, нет, Вы не поняли суть. Формулировка была некорректна только потому, что допускает двоякое понимание функции ведущего. В правильной формулировке вероятность именно две трети. И она определяется не действиями ведущего, а действиями игрока. Почитайте лучше про теорему Байеса, чтобы понять, в чем Ваша ошибка.

Дмитрий Пивоваров, я знаю теорема Байеса. Это о вероятности зависимых событий. И тут без разницы, зависят эти события от действия игрока или от действия ведущего. Переверните ситуацию: цель ведущего не допустить выигрыша. Он может как предложить обмен так и не предложить. Мы можем так же вычислить вероятность выигрыша в зависимости от действий ведущего.

Евгений Шуравин, вычислите.

Дмитрий Пивоваров, воспользоваться вашим советом не смогу, однако спасибо за возражение. Программирование не понадобилось. Я признаю, что допустил непростительную оплошность. И она скорее не математического, а логического характера. Главный постулат в моем начальном размышлении - что действие испытуемого по сути не является действием... Что-то я действительно туплю )). Увы, конечно, является - своим выбором Испытуемый ограничивает выбор Ведущего. Дальше всё просто - чистая математика. Так что прошу меня извинить. В споре рождается истина )

Дмитрий Пивоваров, единственное дополнение - вы, при полной правоте по сути, несколько усложнили путь к истине. Здесь в общем-то не нужны отсылки к программированию и даже к Байесу(хотя его формула элементарная). Как только понимаешь, что выбор Испытуемого - это реальное действие, дальше всё понятно на пальцах.

В том то и парадокс, что трудно воспринять, почему так. На самом деле всё просто. Тут как раз ключевой момент, что ведущий показывает козу. Игрок по факту открывает не одну дверь, а две. Отсюда и вероятность две трети.

Вероятность, что сразу сделан верный выбор 1/3.

Вероятность, что приз за одной из двух других дверей 2/3 .

Если ведущий открыл одну дверь, вероятность по прежнему остаётся 2/3, но уже для одной двери, за второй-то точно приза нет.

Кстати, если поставить условие, что ведущий показывает именно козу всегда, то если ведущий не показал козу, а показал пустую, значит коза уже выбрана и вероятность выигрыша будет 100%.

Дмитрий Быков, парадокс мне кажется возник как раз из-за неясности условий, а не от того что трудно воспринять. Если принять что ведущий всегда открывает дверь с козой и всегда предлагает обмен, т.е. подыгрывает игроку, то ясно что вероятность выигрыша выше и составляет 2/3. В реальной игре ведущий может иметь другую стратегию.

Евгений Шуравин, 

Если принять что ведущий всегда открывает дверь с козой и всегда предлагает обмен

Условия именно такие. Но из этого не следует, что ведущий подыгрывает. И парадокс в общем случае не в этом заключается. Посмотрите второй пример в моем ответе, или примеры в ответах других людей. Монти-Холл - это лишь вершина айсберга, тогда как в реальности есть десятки гораздо менее очевидных (но столь же глупых) ошибок, обусловленных непониманием Байеса.

Дмитрий Пивоваров, ну как же не означает что подыгрывает? Если ведущий ничего не делает, то изначальная вероятность выиграть 1/3. Но ведущий владеет информацией о том где именно приз и где коза и открывает дверь с козой, т.е. предоставляет дополнительную информацию. Формально, если по условиям игры ведущий должен открыть дверь с козой, то мы знаем, что выбор не из 3 вариантов, а всего из двух. Причем первый выбор вероятность 1/3, а второй соответственно 2/3. И тут нам ведущий делает подарок: предлагает изменить выбор с 1/3 на 2/3. Вернее мы точно знаем что он обязан нам сделать этот подарок. Нам ведущий подыгрывает, как иначе это назвать - он использует свое знание где что лежит чтобы увеличить наши шансы.

Но в реальной игровой телепередачи у ведущего нет жестких рамок поведения, он может как подыгрывать нам, так и наоборот. То же упомянутое вами поле чудес: например, когда Якубович торгуется открывать или нет шкатулку, а вы можете согласится или нет с суммой. Вы не знаете на какой сумме остановится торг. В этом-то весь элемент шоу и игры. Если бы вы знали что ведущий обязан был предложить вам определенную сумму, то интриги никакой не было бы. В шоу Монти-Холла точно так же, у ведущего нет строго обязательства открывать дверь с козой или предлагать обмен. Ваша вычисленная вероятность основывается только на том допущении, что ведущий обязан подыгрывать.

Евгений Шуравин, 

Нам ведущий подыгрывает, как иначе это назвать - он использует свое знание где что лежит чтобы увеличить наши шансы.

Учитывая, что даже здесь в комментариях далеко не все считают, что менять свой выбор выгодно, называть поведение ведущего подыгрыванием - преувеличение. Это не подыгрывание, а просто правило. Которое не всем очевидно, и именно в этом суть парадокса Монти-Холла.

Не понимаю, с чем Вы спорите.

Евгений Шуравин, 

Ваша вычисленная вероятность основывается только на том допущении, что ведущий обязан подыгрывать.

А кто кому подыгрывает в ситуации с ложноположительным анализом?

Дмитрий Пивоваров,"Учитывая, что даже здесь в комментариях далеко не все считают, что менять свой выбор выгодно" -  правильно описываете условия задачи и я думаю что все согласятся. Вот вам говорят что "Ведущий может просто вводить в заблуждения игрока, надеясь что тот поменяет выбор." - а вы писали что это не имеет отношения к задаче. А мне говорите что как раз имеет отношение и это одно из условия что ведущий не может вводить в заблуждение и ОБЯЗАН показать козу и предложить обмен. Вы уж определитесь с условиями и тогда получите определенный ответ.

Евгений Шуравин, 

Суть парадокса - не в психологии игрока или ведущего, а в том, что чисто математический шанс выигрыша в ситуации с повторным выбором будет не такой, как считают многие. Потому что оценивают второй выбор как независимый, тогда как на самом деле это не так. Я могу привести десятки других примеров без ведущих, игроков и коз с дверями. Это не имеет никакого отношения к задаче. И в ловушку Байеса люди попадают не потому что условия этой одной конкретной задачи сформулированы неправильно, а именно потому, что люди неправильно оценивают вероятности зависимых событий в принципе.

Еще раз: прочитайте другие примеры, а не только этот. Вы одно и то же повторяете, но упускаете суть.

Дмитрий Пивоваров, С ложноположительным диагнозом никто никому не подыгрывает, просто люди не учитываются все вероятности, поэтому и ошибаются. У вас тоже кстати неправильный результат, потому что не учли вероятность ложноотрицательного анализа. Да и откуда цифра что болеют 1% ??? Из результатов тех же анализов куда входят и ложноположительные? Статистика тонкая вещь.

Да, я понял вас. Вы в ту же ловушку попались принимая вероятность болезни в 1% как независимую от результатов теста, поэтому и ошиблись.

А вот скажите , если вы сдали один тест и он положительный. А потом сдали второй и он тоже положительный, какова вероятность что вы действительно болеете?

Евгений Шуравин, 

Да и откуда цифра что болеют 1% ???

Ниоткуда. Я ее выдумал.

А вот скажите , если вы сдали один тест и он положительный. А потом сдали второй и он тоже положительный, какова вероятность что вы действительно болеете?

При описанных условиях, два последовательных теста дают точность 99.99%. Т.е. на 10,000 человек лишь у одного будет ложноположительный результат в этом случае. А реально положительных - 100. Следовательно, вероятность ошибки при двойном тесте - 1%.

Дмитрий Пивоваров, "Ниоткуда. Я ее выдумал." - ну вот, я про это и говорю. Вы точно не знаете, поэтому просто придумали цифру. Если неизвестно точно сколько именно больных то и невозможно посчитать шанс оказаться больным. Если это 2% то и шанс оказаться больным - выше. А если болеют все, то и шанс что ты тоже болен 100%. Независимо от точности тестов.

P.S.

В общем я так понял, у некоторых людей проблемы с логикой и поэтому они не могут правильно посчитать.

Евгений Шуравин, совсем не так, игроку всегда выгодно поменять выбор. И вероятность выигрыша 0 может быть только в том случае. если ведущий по правилам всегда показывает автомобиль, а если автомобиль изначально выбрал игрок, заставляет его выбор изменить.

Повторю, вероятность выиграть при одной открытой двери без перемены выбора 1/3, вероятность выигрыша при перемене выбора 2/3.