Парадокс Монти Холла
Эта вероятностная задачка названа в честь ведущего американского шоу Let’s Make a Deal. Звучит он так:
Вы — участник игры, в которой можно выиграть автомобиль. Перед вами три двери. За одной из них находится автомобиль, за двумя другими — козы. Вы выбираете одну из дверей. Ведущий знает, где находится автомобиль, и открывает одну из дверей, за которой находится коза. После этого он просит вас выбрать ещё раз.
Вопрос: увеличатся ли ваши шансы выиграть автомобиль, если вы измените свой выбор?
Стандартный ответ: нет, ведь в любом случае останутся две двери, за одной из которых есть автомобиль. Так что шансы 50/50 вне зависимости от первоначального выбора.
Правильный ответ: если игрок изменит выбор, он выигрывает с вероятностью 2/3. Снова опускаем формулы и рассуждаем бытовым языком. Предположим, что у вас есть множество попыток сыграть в эту игру, и вы каждый раз изменяете свой выбор. В каком случае вы проиграете? Только если вы изначально выбрали «дверь с автомобилем». Если вы изначально сделали неверный выбор, вы выиграете. А вероятность выбрать «дверь с козой» на первом этапе составляет 2/3 (ведь двери три, а козы две). Получается, что на первом этапе у вас больше шансов ошибиться, а значит, изменив выбор на втором этапе, у вас больше шансов выиграть
Марина Закохайло, на втором этапе нет распределения вероятностей. А лишь есть возможность остаться на своих 1/3 или сменить на 2/3... Чтобы было более понятно. Представьте что дверей 10. За одной выигрыш, а за 9 другими пусто Вы выбрали одну с вероятностью выигрыша 1/10. Девять других дверей все вместе имеют вероятность выигрыша 9/10. Из этих 9 дверкй точно как минимум 8 пустых. Их ведущий вам и показал. Какая вероятность теперь за последней девятой? Куда девается вероятность 9/10? На нее и падает эта вероятность 9/10. И теперь вам дают выбор остаться на своих 1/10 или выбрать не свою, то есть вероятность 9/10. Тут нет выбора между двумя дверьми с вероятностью 1/2, так как выигрыш по новой не распределили случайным образом между двумя дверьми. А то что вы пишете про монеты. Ну да вероятность что выпадет орёл три раза подряд 1/8. Так как каждое подбрасывание вы имеете вероятность 1/2 и вероятность получается 1/2*1/2*1/2. Но когда вы уже два раза подбросили и оба раза орел выпал, получается 1*1*1/2. Вы хот 1000 раз подкинули и 1000 раз орёл выпал. На 1001 подбрасывание все равно вероятность 1/2. Так что давайте не путать условия задач.
В теории вероятности лучше расписать все возможные "исходы" и подсчитать процент "благоприятных".
Итак: 3 комнаты, только в одной машина (М),а в других пусто (0). Всего 3 варианта.
М 0 0
0 М 0
0 0 М
Я выбираю одну дверь (отметим выбор знаком !) - 9 вариантов
М! 0 0 _ _ М 0! 0 _ _ М 0 0!
0! М 0 _ _ 0 М! 0 _ _ 0 М 0!
0! 0 М _ _ 0 0! М _ _ 0 0 М!
В каждом из 9 случаев ведущий открывает дверь в пустую комнату. Иногда у него 2 варианта это сделать, иногда только один. Отметим открытую дверь значком (^). Имеем 12 возможных случаев:
М! 0^ 0 _ _ М! 0 0^ _ _ М 0! 0^ _ _ М 0^ 0!
0! М 0^ _ _ 0^ М! 0 _ _ 0 М! 0^ _ _ 0^ М 0!
0! 0^ М _ _ 0^ 0! М _ _ 0^ 0 М! _ _ 0 0^ М!
Теперь всё просто.
Считаю сколько раз встречается (М!), т.е. я вначале угадал где машина. Получаем 6 случаев.
Считаю сколько раз встречается (0!), т.е я вначале не угадал. Получаем 6 случаев.
Итого: шансов 50/50.
Вероятность должна перераспределяться между оставшимися вариантами. 50 и 50 тоже дают в сумме 100.
Неплохо. Только глаза кровью наливаются от того, что вы вероятность записываете в виде процентов.