Важно запомнить навсегда - ОСАГО возмещает ущерб всему вокруг, причиненный вашим авто, кроме самого вашего авто. Если бы у вас было КАСКО, то да, страховая возместила бы ущерб, связаннный с падением дерева и, скорее всего, дальше сама бы уже пыталась отсудить эту сумму у ведомств ЖКХ и т.д., которые по идее отвечают за деревья в дворе.
Нет, не можете. ОСАГО — это ответственность перед третьим лицом. Никакое отношение к вашей машине он не имеет. КАСКО — да, ОСАГО — нет. В стандартный пакет КАСКО входит страховка от падения дерева.