В перечне видов деятельности, при осуществлении которых проводится психиатрическое освидетельствование, психиатра я не нашла. А выдать запрет может только врачебная комиссия, в том числе психиатр при заключении освидетельствования. Обязательного освидетельствования у профессии нет.
В теории можно. Другое дело - придется периодически лечить депрессивные эпизоды, во время которых полноценная деятельность затруднительна. Но это уже к вопросу о ваших возможностях.