Конечно может. Грубо надо пол скорости света. На самом деле побыстрее - надо прикинуть по формуле Лоренца. Микроволновый реликтовый фон "получен" из исходного довольно высокочастотного излучения (по современным представлениям). Кроме чисто доплеровского удлинения волны следует учитывать космологическое красное смещение от расширения Вселенной. Следует отметить, что, с учетом расширения Вселенной, для отдаленных районов можно получить даже отрицательную длину волны, а не то что длинноволновый радиодиапазон из гамма излучения.
По реликтовому излучению у меня есть маргинальное мнение, что это всего лишь равновесное переизлучение на электронах. То есть баланс между комптоновским рассеянием и обратным эффектом Сюняева - Зельдовича. Для этого масса (плотность) барионной материи должна быть на порядок выше, чем нынешние оценки. То есть не должно быть темной материи, а просто больше барионки. Но это не точно.