Может ли бабушка прописать взрослого внука в собственную квартиру?

Если под взрослым подразумевается совершеннолетний внук, то да, бабушка может зарегистрировать внука в принадлежащую ей квартиру - как по месту жительства, так и по месту пребывания.

Ч. ч. 1 и 2 ст. 30 ЖК РФ:
1. Собственник жилого помещения осуществляет права владения, пользования и распоряжения принадлежащим ему на праве собственности жилым помещением в соответствии с его назначением и пределами его использования, которые установлены настоящим Кодексом.
2. Собственник жилого помещения вправе предоставить во владение и (или) в пользование принадлежащее ему на праве собственности жилое помещение гражданину на основании договора найма, договора безвозмездного пользования или на ином законном основании, а также юридическому лицу на основании договора аренды или на ином законном основании с учетом требований, установленных гражданским законодательством, настоящим Кодексом.