Могут ли омонимы иметь различную этимологию (например, карта, которая map, и карта, которая card)?

Да, омонимы могут иметь разную этимологию, более того - разное происхождение омонимов является одной из причин их возникновения. Например, брак (т.е. свадьба, образовано от русского слова "брать") и брак (т.е. испорченная продукция, заимствовано из немецкого языка). Но приведенные Вами слова в русском языке - не омонимы, а просто разные значения одного и того же слова. Разница между омонимами и разными значениями одного слова в том, что омонимы по значению никак не связаны (то есть совсем-совсем никак) и даже могут иметь разное происхождение, как уже говорилось раньше, а разные значения одного слова, соответственно, хоть как-то, да связаны, и при этом вторичные значения слова происходят от первого, основного значения (которое, кстати, в словарях дается первым). Приведенные Вами слова по значению связаны тем, что и первая карта, и вторая в некотором роде представляют из себя плоский кусок бумаги, картона или какого-либо другого материала. Карта, которая map - это основное значение этого слова, и все другие развились из него.