Многие говорят, что математика важна в программировании. Если да, то на каком уровне? Если возможно, приведите, пожалуйста, пример задачи, в которой она нужна.

Первое -- математика это подход к обработке информации. 

Здесь был вопрос:

TheQuestion: найдем тех, кто ответит на ваши вопросы.

Второе -- а в какой сфере вы будете программировать?

Пример задач, тут и об этом были вопросы. На мой взгляд, самое актуальное -- прикладная лингвистика:

Машинный перевод, Автоматическое распознавание символов (англ. OCR), Автоматическое распознавание речи (англ. ASR), Автоматическое извлечение данных (англ. Data Mining), Информационный поиск, Извлечение информации, Автоматическое реферирование текстов, Построение систем управления знаниями, Создание электронных словарей, тезаурусов, онтологий, Корпусная лингвистика, создание и использование электронных корпусов текстов, Лингвистическая экспертиза (например, в судебной практике), наука об упорядочении и стандартизации научно-технической терминологии.

Например, про распознавание текстов: https://habrahabr.ru/company/abbyy/blog/228251/