Тут 2 раза ответили что становятся, а я немного подгажу.
Есть 2 больших подхода к понятию "личность" - отечественный и западный. Это касается не только вопроса "рождаются\становятся?", но и самой сути - "а личность - это что?".
Так вот, отечественные ребята типа того же Леонтьева считают что личностью человек становится, а западные - что рождается. Ещё раз подчеркну, что это не разногласие по вашему вопросу, а скорее разные термины.