Этот вопрос и меня мучил. Кура и греча... :)
Задавал вопрос филилогам.
Так вот: с курицей, оба варианта правильны. КУрам, курЯм, кУрицам дают (задают) корм.
С гречей, все грустно. Такого слова нет. Гречка!
Куры как живые птицы, но если одна птица, обычно говорим курица. Куры на прилавке магазина не бывают: цыплята-бройлеры. Куры в домашнем хозяйстве. Снесла курица яичко. Всяко можно!