Когда Дамблдор узнал, что Гарри Поттер является хоркруксом (крестражем)?

1 глава 1 книги: 

Когда профессор МакГонагалл снова заговорила, голос её дрожал:
- И это ещё не всё. Говорят, что он пытался убить сына Поттеров, Гарри. Но не смог. Он не смог убить этого маленького мальчика. Никто не знает почему, никто не знает, как такое могло произойти. Но говорят, что, когда Волан-де-Морт попытался убить Гарри Поттера, его силы вдруг иссякли - и именно поэтому он исчез.
Дамблдор мрачно кивнул. 
- Это... это правда? - запинаясь, спросила профессор МакГонагалл. - После всего, что он сделал... <...> Но каким чудом Гарри удалось выжить?
- Мы можем лишь предполагать, - ответил Дамблдор. - Возможно, мы так никогда и не узнаем правды. 

Далее Дамблдор объясняет, что слава могла бы вскружить Гарри голову, поэтому его нужно оставить у Дурслей и прилетает Хагрид.

-Значит, именно сюда... - Прошептала профессор МакГонагалл.
- Да, - подтвердил Дамблдор. - Этот шрам останется у него на всю жизнь.
- Вы ведь можете с ним что-то сделать, Дамблдор?
- Даже если бы мог, не стал бы. Шрамы могут сослужить хорошую службу. У меня, например, есть шрам над левым коленом,<...>

То есть, можно сделать вывод, что Дамблдор не знал, почему исчез Волан-де-Морт, но когда увидел Гарри - понял, что младенец стал крестражем.
Дальше перейдем к последней главе, где скрыта масса подсказок, почему это именно так:

17 глава 1 книги:

Сцена, где Гарри очнулся в больнице, после сражения. 
- Я боялся, что опоздал, - признался Дамблдор.
- Да, вы чуть не опоздали, - согласился Гарри. - Ещё немного, и он бы вырвал у меня камень...
- Я боялся не за камень, - мягко поправил его Дамблдор, - а за тебя. Схватка отняла у тебя все силы, и ты едва не погиб. В какой-то момент я даже думал, что это произошло. А что касается камня, то он был уничтожен. 
<...>
-Да, сэр. - Гарри поспешно кивнул, ему не терпелось услышать ответ. - Я хотел спросить: ведь теперь Волан-де-Морт будет искать другой способ вернуть себе силы, правда? Я имею в виду, ведь он не исчез навсегда?
- Нет, Гарри, - согласился Дамблдор. - Он всё ещё где-то здесь, возможно, ищет новое тело, в которое мог бы вселиться... Так как он не является живым существом в полном смысле этого слова, его нельзя убить. <...> 
Гарри попробовал кивнуть и поморщился от боли.
- Сэр, есть ещё кое-что, что я хотел бы узнать, если вы мне расскажете, - тихо, но настойчиво произнес он. - Я хотел бы узнать правду...
 - Правду... - Вздохнул Дамблдор. - Правда - это прекраснейшая, но одновременно и опаснейшая вещь. А потому к ней надо подходить с превеликой осторожностью. Однако я отвечу на твои вопросы - если, конечно, у меня не будет веской причины для того, чтобы промолчать. Если я не смогу ответить, прошу меня простить: я промолчу, потому что ложь недопустима. 
- Хорошо. - Гарри прикрыл глаза. - Волан-де-Морт сказал, что убил мою мать просто потому, что она пыталась не дать ему убить меня. Но я не могу понять, зачем ему вообще понадобилось убивать меня?
На сей раз Дамблдор вздохнул куда глубже. 
- Увы, Гарри, на этот вопрос я не могу ответить. По крайней мере сегодня и сейчас. Однажды ты узнаешь... а пока забудь об этом. Когда ты будешь старше... Я понимаю - наверное, это звучит неприятно... Тогда так: когда ты будешь готов, ты все узнаешь. 
Гарри понял, что настаивать бесполезно. 

Далее, Дамблдор говорит, что Волан-де-Морт не мог коснуться человека под защитой такой сильной любви. А уже после в этой же главе Гарри произносит вот что: 

• Он странный человек, Дамблдор. Я думаю, что он просто хотел дать мне шанс. И что он, в общем, знает обо всем, что здесь происходит. Так что Дамблдор был в курсе того, что мы задумали. (Про поиск философского камня.) Однако, вместо того, чтобы остановить нас, он меня кое-чему научил, подготовил меня к тому, что должно было случиться. Не думаю, что я случайно нашел зеркало Еиналеж, - это он подталкивал меня к тому, чтобы я его нашел, и сам объяснил мне как оно действует. Мне даже кажется, это он решал, есть ли у меня право встретиться один на один с Волан-де-Мортом. И я доказал, что готов к этому...

"Почему именно Гарри" - Волан-де-Морт устроил аналог Варфоломеевой ночи, уничтожая сверстников Гарри, чтобы найти ребенка, который свергнет его власть, согласно пророчеству. (Помните стеллажи со стеклянными шарами в Министерстве Магии из "Ордена Феникса"?) Дамблдор понял, про какого ребенка говорилось в предсказании, и через Снегга направил Волан-де-Морта и Поттеров в Годрикову впадину. На ребенка Дамблдор наложил заклятие и, после самопожертвования родителей, Гарри обладал защитой. Помните серебряный кокон, который возник, когда Гарри и Волан-де-Морт впервые сразились в "Кубке огня", где мать и отец Гарри сказали, что прикроют его? Это именно то самое заклинание. Дамблдор так же предполагал, но не хотел верить, что Волан-де-Морт делает крестражи. Информацию об этом не мог дать ни Снегг, ни кто-либо другой. Волан-де-Морт в какой-то момент начал внезапно трансгрессировать в неизвестном направлении и внезапно появляться в измотанном виде, злой и ничего не говоря. Это со свидетельств Снегга и Пожирателей смерти. А в 6-й части мы узнаем, что про крестражи волшебники знали, но не распространялись. Вспомните, что Дамблдор и Гарри пригласили профессора зельеварения Слизнорта на работу в Хогвартс, а потом узнали, что тот рассказал Тому Реддлу про крестражи. Но решающим в том разговоре, было не само наличие крестражей, а их число. 
Отсюда становится понятен момент осознания Дамблдором, что Гарри - крестраж: когда увидел шрам. 

Так что ответ на ваш вопрос: в день убийства Лили и Джеймса Поттеров.