Какое годное аниме посоветуете, если я только начала знакомиться с жанром?

На самом деле нет универсального гайда "правильного ознакомления с японской анимацией", т.к. у каждого свои предпочтения и, соответственно, каждый начинает этот процесс по-разному. 

Ну, раз уж вы просите, то поехали:

Немного именитых людей:

Бессмертная международная классика - Хаяо Миядзаки: Mononoke Hime, Sen to Chihiro no Kamikakushi, Howl's Moving Castle.

Гений фантазий и грёз - Сатоси Кон: Perfect Blue, Sennen Joyuu, Tokyo Godfathers, Paprika.

Впечатляющий талант, сочетающий в себе культуры запада и востока - Ватанабэ Синъитиро: Cowboy Bebop, Samurai Champloo, Space Dandy, Zankyou no Terror.

Мастер хаоса и разрушений - Отомо Кацухиро: Akira, Roujin Z, Memories.

Теперь просто о неплохих работах:

Ookami Kodomo no Ame to Yuki – сильная история, повествующая о быте, материнстве и жизни в целом.

Ookami to Koushinryou – весьма добрый, красивый, а главное приятный сериал.

NHK ni Youkoso! – история о проблемах замкнутых людей. Очень интересные и запоминающиеся персонажи.

Steins;Gate – просто хороший сериал. Псевдонаучность, забавные персонажи, интересное построение сюжета и повествования.

Fullmetal Alchemist: Brotherhood – один из лучших представителей жанра «сёнэн». Для ознакомления с индустрией подходит лучше всего.

Great Teacher Onizuka – неплохой вариант подростковой комедии. В меру пошлый, в меру поучительный, в меру нереальный + приятные школьные воспоминания (опционально).

Monster – трудно описать всё, что мне понравилось в этой работе. Обойдёмся кратким выводом: это один из лучших представителей жанра «психологический триллер» в аниме-индустрии. Атмосфера, качество, персонажи, всё на высоте.

Berserk – очень откровенное, но весьма стоящее творение. Даркфэнтези во всей своей красе.

Redline – нереальный драйв и экшен в сочетании с весьма интересной и очень впечатляющей стилистикой.

Ghost in the Shell – революционное кино в плане визуализации экшена.

Black Lagoon – ещё один представитель жанра «экшен», который просто нельзя пропустить.

Hotaru no Haka – лучшее антивоенное кино, которое я когда-либо видел. Плюс, несмотря на 80-ые года, качество отрисовки персонажей и фонов тут на высоком уровне.

Tengen Toppa Gurren Lagann – вещь, честно говоря, на любителя, но лично я в своё время был очень ею впечатлён.

Kotonoha no Niwa – детализация окружения возведена в абсолют. Сюжетная составляющая тут не очень примечательная, но ради визуализации посмотреть определённо стоит.

Ну, вот как-то так. Постарался сделать подборку как можно разносторонней, чтобы вам было из чего выбрать.

Так или иначе, трудно что-то предлагать, когда не видно примерных границ. Все вышеперечисленные работы и режиссёры, в той или иной степени, помогут вам понять, что такое «аниме» и как оно многогранно. Если у вас всё же появятся примерные критерии того, что вы хотели бы посмотреть, пишите в комментарии к ответу, попробую помочь.