Если функция ограничена (на конечном промежутке), то любая измеримая функция, мера точек разрыва которой больше нуля. Если не ограничена - то любая интегрируемая по Лебегу функция.
Копирую из википедии: Критерий Лебега интегрируемости функции по Риману: функция интегрируема по Риману на отрезке [a,b], тогда и только тогда, когда на этом отрезке она ограничена, и множество точек, где она разрывна, имеет... Читать далее