Копирую из википедии: Критерий Лебега интегрируемости функции по Риману: функция интегрируема по Риману на отрезке [a,b], тогда и только тогда, когда на этом отрезке она ограничена, и множество точек, где она разрывна, имеет нулевую меру (то есть может быть покрыто счётным семейством интервалов со сколь угодно малой суммарной длиной)
Каким образом это отвечает на мой вопрос?
Если функция ограничена (на конечном промежутке), то любая измеримая функция, мера точек разрыва которой больше нуля. Если не ограничена - то любая интегрируемая по Лебегу функция.