Как завязывать диалог с незнакомыми людьми без чувства неловкости, чтобы заинтересовать человека и продолжать общаться?

Чувство неловкости это нормально, особенно если Вы делаете подобное впервые. С практикой оно может уменьшиться или совсем исчезнуть.

Нетворкинг - это отдельная сфера деятельности, направленная на создание и поддержание отношений, в той или иной сфере (профессиональной, хобби, личной). Можете почитать про нетворкинг больше, есть даже курсы, где этому учат.

Если про конкретные приемы, то это зависит от контекста. Если это мероприятие, где все настроены на общение, то можно подходить и знакомиться.

Если это не мероприятие, то можно завести разговор о чем-то, что видите и Вы и собеседник (погода, книга, обстановка...).