Тоже интересовался этим вопросов, и узнал от ютубера Satyr (напомню, что в последнем его ролике была как раз Настоящая машина скорой помощи), что в российских больницах есть такая услуга как «заказ скорой на мероприятие» - так обычно и заказывают кареты на футбольные и другие матчи. Услуга официальная и платная само собой. А вот за полицию точно не скажу, но не раз видел на полицейских машинах объявления типа «заказ охраны» и номера под ними. Думаю, что схема действий примерно такая же как и в случае со скорыми.
Ну да, а в чём проблема? Просят, конечно, не у сотрудников, а официально через руководство. А Вы думали, что специально машины покупают или бутафоры красят? Иногда ещё и настоящие сотрудники соответствующих служб снимаются вместе с машиной.