Можно использовать IFTT. Создаете рецепт, который загружает в ваш смартфон фото (видео) каждый раз, когда вы лайкаете его в Инсте.
Существуют и другие интересные рецепты, которые могут быть использованы для этой цели (к примеру, загрузка фото в Dropbox).
С помощью приложения и сайта InstaSave. Фотографии можно скачивать как из вашего фида (ленты), так и те, которые вы нашли в открытых профилях других пользователей и по хэштегам.
Хорошее приложение - Rollsaver. Насчет видео не знаю, но фото сохраняет в таком виде, в каком оно добавлено (без надписей с названием приложения, как в других программах). Скачивает только те фото, на которых вы поставили лайк.