Хорошее приложение - Rollsaver. Насчет видео не знаю, но фото сохраняет в таком виде, в каком оно добавлено (без надписей с названием приложения, как в других программах). Скачивает только те фото, на которых вы поставили лайк.
С помощью приложения и сайта InstaSave. Фотографии можно скачивать как из вашего фида (ленты), так и те, которые вы нашли в открытых профилях других пользователей и по хэштегам.