Есть два варианта: условно бесплатный метод и платный.
Первый метод это поисковая оптимизация сайта клиники. Это ряд мероприятий по сбору поисковых запросов, создания страниц под поисковые запросы, оптимизация страниц, внутренняя перелинковка и т.д. Этим занимаются SEO-специалисты. Обращу ваше внимание, что выбирать для продвижения нужно коммерческие поисковые запросы (лечение кариеса цены, лечение кариеса "ваш город"), по не коммерческим (причины кариеса) не будет новых клиентов
Второй способ - платная контекстная реклама. Необходимо ее настроить и вести. Так же в случае с яндексом можно купить рекламу в Яндекс.Справочнике - он по многим запросам выводится в самом верху