Как правильно читать книги, чтобы использовать их проблемы для аргументов в ЕГЭ ? Стоит ли заводить отдельную тетрадь и всё тщательно записывать ?

Советую фиксировать имена главных героев, автора и название произведения. Это то, что может в самый неподходящий момент вылететь из головы.

После прочтения книги рекомендую мысленно анализировать её, можете даже открывать список проблем (в интернете полно ресурсов) и пробовать подогнать прочитанную книгу под них. В одном произведении могут подниматься и вопросы экологии, и поиска себя, и значение искусства в жизни человека. Это хорошая тренировка. Главное – понять книгу и научиться в ней ориентироваться.