Если кроссовки тканевые, то самый простой и эффективный способ - постирать их в стиральной машине со стиральным порошком. Можно добавить отбеливающие средства.
Если кроссовки плотные, то с загрязнениями отлично справится сода + лимонная кислота + зубная паста. Сначала замочить в порошке, а потом щёткой нанести соду, пасту и хорошо тереть