О каком времени вы говорите? Массовое обретение фамилий жителями Российской империи пришлось на вторую половину - конец XIX века. Речь идёт о крестьянах. Уже в первой половине позапрошлого века некоторые помещики стали давать своим крепостным вольные. Они же (помещики) и были теми людьми, которые выбирали фамилии. Если помещик был нормальным, то и фамилии он давал нормальные. Если же у помещика была придурь или на определённого крестьянина он имел зуб, то и фамилию мог дать ещё ту. Например, Дураков.
Так же помещик мог дать разные фамилии родным братьям и сёстрам. Например, один крестьянин получал фамилию Чернявый, а его брат - Воронин (такое было с братьями будущего известного магната Демидова). Но чаще всего помещики не заморачивались и давали фамилии по имени отца или по названию деревни. Например, жители деревни Волково получали фамилию Волков/Волкова или сын Фёдора получал фамилию Фёдоров.
Но многие крестьяне не имели фамилии и после 1861 вплоть до XX века. Было ещё такое явление, как уличная фамилия. По-сути, это деревенское прозвище. Человек мог иметь официальную фамилию Кузнецов (поскольку был сыном или внуком кузнеца), но его односельчане могли называть его Поскрёбышевым. Такие прозвища давались из-за различных (забавных) случаев, которые происходили с тем или иным крестьянином. В официальных церковных метрических книгах так и писали: Иван Петров сын Кузнецов, он же Поскрёбышев. Иногда такие прозвища были очень неблагозвучными.
Как думается, почти все городские жители имели фамилии даже до XIX века. Это было связано с тем, что городскому человеку приходилось очень часто иметь дело с бюрократической машиной, которая не терпит обезличивания. Фамилии имели все представители других некрестьянских сословий - солдаты, купцы, однодворцы и, конечно, дворяне. Большинство священников имело "говорящие" фамилии - Рождественский, Тихомиров, Елеонский. Незаконнорожденые дети часто получали фамилию по имени крёстного отца.
А вот чтобы изменить свою фамилию, таким людям требовалось подать прошение лично императору. Известен забавный случай, когда купец Краснобрюхов пожелал изменить свою неблагозвучную фамилию. Императорская резолюция гласила, что он может изменить лишь первую половину своей фамилии. Купец выбрал вариант Синебрюхов. Его пиво с таким названием люди пьют до сих пор.