Как из законов электродинамики Максвелла вывести, что электрон, движущийся с ускорением, излучает электромагнитные волны и поэтому должен падать на ядро атома?

То, что он должен излучать волновое поле, выведено давно и, может быть, еще Максвеллом. В крайнем случае Гамильтоном в 1903-м. А излучает ли он при этом энергию или принимает, - неизвестно. Есть варианты. Например, ядро тоже излучает вместе с электронами. И в этом случае тоже есть варианты: излучения складываются или вычитаются одно из другого.

И атом может быть стабильным, если они вычитаются в ноль.