Элементарно, правда, зачем уравнения максвелла? Если без уравнений, то, например: по теореме о циркуляции магнитного поля, ток - это циркуляция вектора напряженности магнитного поля по замкнутому контуру. Если учесть, что заряженная частица, которая движется со скоростью - это есть ток по определению, то изменение скорости - ускорение - приведет к изменению напряженности магнитного поля, а оно, в соответствии с другим уравнением Максвелла, законом о электромагнитной индукции, вызовет изменение электрического поля - этот процесс и есть излучение.
А с чего Вы взяли, что электрон должен упасть на ядро - я не знаю, Вы забыли электрону об этом сказать