Вопреки ответу выше, скажу, что на самом деле, если вам нужно качественное понимание, а не спектр излучения через функции МакДональда, то объяснение предельно простое.
Любая заряженная частица создает вокруг себя электрическое поле. Когда заряженная частица движется, получается переменное электрическое поле, которое, по уравнениям Максвелла, генерирует магнитное поле (переменное из-за ускорения). Переменное магнитное и электрическое поле формируют электромагнитные возмущения, которые и распространяются в виде волн. Эти волны несут в себе энергию и импульс. Но откуда они их берут? Очевидно, что эти волны черпают их из энергии и импульса самой частицы, отчего частица и тормозит.
Почему такое не происходит, когда частица движется с постоянной скоростью? Потому что уравнения Максвелла Лоренц-инвариантны, иначе говоря, при таком движении вы всегда найдете систему, в которой поля будут постоянны во времени.