Является ли математика абсолютно исследованной наукой на сегодняшний день, есть ли в ней место новым открытиям?

Конечно же нет.

Например:

1. Задачи тысячелетия. Из семи решена была пока что только одна.

2. Проблемы Гилберта. 16 из 23 решено.

И вообще, если надо будет — найдут еще парочку задач. А вы пока что можете порешать задачи тысячелетия, за каждую $1 млн дают.