Есть ли у президентов паспорта и ставят ли туда отметки при прилете в очередное государство?

Хорошо известно, что паспорта нет у королевы Великобритании, т.к. британские паспорта выдаются от имени Её Величества. О паспортах других монархов информации меньше, да и во многих странах (например, в Саудовской Аравии) такую информацию получить в принципе проблематично.

Что касается республик, то там ситуация иная: глава государства - это в первую очередь обычный гражданин, временно исполняющий определённые функции, и нет причин, чтобы не выдать ему паспорт. Хотя, опять же, ситуация в режимах типа КНДР остаётся непрояснённой.

В принципе, данный вопрос относится не к международному дипломатическому протоколу, а скорее к внутренней компетенции государства. Скажем, никто же не чинит препятствий при визитах Елизавете II на основании того, что она не может предъявить паспорт. Думаю, с Ким Чон Ыном тоже никто не стал бы по этому поводу отношения выяснять.