Если бы развитие науки пошло иным путем, чем изобретение лампочки, могли бы мы иметь компьютеры работающие на другой энергии? Или это был единственный путь?

на какой? внутри комп всё-равно электрическую использует, даже если ты крутишь динаммашину или химический элемент, если в принципе отказаться от электричества...

этот разговор можно было бы вести в 20-ые годы,  в 30-ые, может быть ещё в 40-ые.

но сегодня, все реально проявляющиеся в быту взаимодействия с высочайшей точностью достаточно изучены и исследования идут по всем направлениям в такую глубь что без компьютера не добраться, все сферы жизни оптимизируются там где это возможно. так что для использования "нечто"(тёмная энергия, материя, даже если вдруг "зефир"), то для этого потребуются ещё более сложные приборы, чем у нас сейчас есть, не говоря уже о том, что явно для их открытия недостаточно веточек и верёвочек к котелком на печке.

можно использовать арифмометр с паровым двигателем - пожалуйста, не проблема, но даже с ламповыми компьютерами - это не сравнится в габаритах и скорости конечно. (где-то в зарубежном политехническом даже была большая механическая вычислительная машина, можете попробовать поискать в ютюбе) 

можно сделать выч машину используя вместо транзисторов клапаны, а вместо тока газ или жидкость, но суть та же, это колоссальные размеры, и это ещё не учитывая того, что воздух бежит куда как медленнее тока. с формированием изображения иными способами тоже очень много вопросов, опять же скорее к скорости и размерам, чем принципиальной невозможности(например можно собрать экран из пучка оптоволокна на другом конце которого будут механические шторки со свечкой или использовать излучающие реактивы).

гипотетические квантовые вычисления требуют особых материалов, материалы "бытовой" чистоты более или менее все изучены, а более хитрые требуют более высокий уровень развития

чисто гипотетически можно было бы представить химический/белковый компьютер. и вот если в бытовом смысле он конечно не подходит, (т.к. слишком большая задержка от ввода задания до завершения задания из-за скорости хим реакций),  то для научных целей, если бы кто-то обнаружил сложные ферменты/законы позволяющие построить задание, то ... я не могу исключить такой вариант, только для использования в системах управления из-за тормозов он не позволил бы перескочить к квантовым вычислениям. 

как итог: 

да, двигаясь из каменного века, к возможностям современных компьютеров, качественно другого пути не было. но в 18 веке мы бы не остались, всё-таки двигатели бы оптимизировались, синиматограф был бы, как и плёночные фотики.  вероятно некоторые вычислительные машины мы бы всё-таки использовали(механические или со средой), но их возможности были бы куда скромнее. за отсутствием электронных тетрисов развились бы куда более сложные и совершенные механические игрушки. паровые котлы также оптимизировали бы, пришли и к двигателю внутреннего сгорания, может даже в космос смогли бы слетать. чисто гипотетически можно бы предположить, что смогли бы даже атом расщепить и поставить на службу обществу, просто химически добывая элементы, обнаружив нагревание методом проб и ошибок подобрать условия ... , но вот интернет, увы, был бы нам не доступен.