До 16-ти лет упражнений с собственным весом (подтягивания, отжимания на брусьях и от пола и т.п.) хватит с головой и в тренажёрный зал для этого не обязательно ходить.
С 16-ти лет если вы наработали хорошие показатели в подтягиваниях - 15-25 раз, в отжимания на брусьях - 30-50 раз, от пола (около 100 раз), то можете записываться в тренажёрный зал и развивать силовые показатели дальше. Если ещё не достигли таких результатов, то нет смысла начинать тренироваться с железом. Конечно, вы можете записаться в зал в любом возрасте и опытный тренер может и 10-ти летнего пацана тренировать без вреда для его здоровья, но это просто будет не рациональная трата средств, так как турник и брусья во дворе и отжимания от пола бесплатны (не забывайте о разминке).
И вреда никакого нет при правильных занятиях. Гормональные всплески под действием нагрузок идут только на пользу и рост никак тормозится (мой брат с 14 лет тягает железо и сейчас его рост более 190 см). Но мало кто в зале даже из более менее опытных спортсменов умеет правильно тренироваться самостоятельно, поэтому и рекомендуют с 21 года в зал идти (когда организм уже становится значительно крепче и стабильнее), чтоб ребята 14 летние себе с дуру не сломали ничего.
В связи с этим "молодым" спортсменам я бы рекомендовал работать с весом, который можете поднять на 10-12 раз, то есть если вы НЕ можете сделать в одном подходе более 8-10 повторений - значит вес слишком большой и необходимо его снизить (чтобы можно было работать с большим количеством повторений).
Если вам так хочется начать качаться, то с 16 с этим делом вполне можно начать. Лично я как раз с 16 и начал, и не то что не жалуюсь на свое здоровье, а наоборот - доволен, и доволен более чем. :)